Zamislite predmet obješen u prostoriji u koju s dvije strane pada svjetlo. Na stolu se pojavi sjena u obliku kruga, a na zidu sjena u obliku pravokutnika. Tko gleda samo stol, a tko samo zid, opisat će dvije posve različite stvari, iako je predmet jedan.
Langlandsov program tvrdi da matematika ima mnogo takvih parova. Pojava koja u jednom području izgleda kao jedno, u drugom se pojavljuje kao nešto naizgled nepovezano, a između njih postoji točno pravilo prevođenja. Zbog toga ga zovu velikom ujedinjenom teorijom matematike.
Dva svijeta koja ne bi trebala imati veze
Prvi je teorija brojeva, koja se bavi cijelim brojevima i jednadžbama. Drugi je harmonijska analiza, koja se bavi valovima i titranjem, dakle onim što se koristi za zvuk i signale.
Te dvije grane nastale su iz različitih pitanja i stoljećima su se razvijale odvojeno. Langlandsov program kaže da su povezane, i to ne labavo nego točno.
Simetrije rješenja
Ključ je u pojmu Galoisove grupe. Uzmimo jednadžbu x² - 2 = 0. Rješenja su korijen iz dva i minus korijen iz dva. Ta dva rješenja su u nekom smislu zamjenjiva: ako u svakoj formuli jedno zamijenite drugim, sve i dalje vrijedi. To je simetrija, kao zrcalna slika.
Za složenije jednadžbe skup takvih dopuštenih zamjena postaje bogata struktura. Ona nosi ime Évaristea Galoisa, koji ju je opisao 1832., u dvadesetoj godini, i umro nedugo zatim.
Valovi s pravilima
S druge strane stoje modularne forme. To su funkcije nalik valovima, s ugrađenim simetrijama toliko strogim da se čini nemogućim da uopće postoje. Svaka se može rastaviti na zbroj titraja, a pred svakim titrajem stoji broj, njegov koeficijent.
I sada dolazi ono neočekivano. Brojevi koji opisuju simetrije rješenja jednadžbe pojavljuju se kao koeficijenti u modularnoj formi. Dva popisa brojeva, dobivena na dva potpuno različita načina, ispadnu isti.
Nitko ne zna zašto. Zna se samo da se to događa, i sve češće se sumnja da su i jedno i drugo sjene nečega trećeg što još nije opisano.
Odakle program dolazi
Robert Langlands, kanadski matematičar, poslao je 1967. pismo Andréu Weilu u kojem je iznio niz slutnji o takvim vezama. Pismo je bilo dugo sedamnaest stranica i počinjalo je ispričavanjem da će Weil možda samo baciti smeće.
Weil je dvadeset sedam godina ranije opisao nešto što je nazvao matematičkim kamenom iz Rosette: tri stupca, tri područja matematike, i isti obrasci koji se pojavljuju u sva tri. Langlands je ponudio prijevod između njih.
Što je dosad dokazano
Program nije jedna tvrdnja nego cijela mreža, pa se dokazuje u komadima.
Najpoznatiji komad je Fermatov posljednji teorem. Andrew Wiles ga je 1994. dokazao tako što je pokazao da bi rješenje Fermatove jednadžbe prekršilo jednu Langlandsovu vezu, onu za eliptičke krivulje. Problem star 350 godina pao je preko mosta koji s njim naizgled nema veze.
Godine 2024. objavljen je dokaz velikog dijela geometrijskog Langlandsa, na preko 800 stranica. On povezuje simetrije na zakrivljenim plohama s objektima iz harmonijske analize koji se zovu snopovi.
Zašto to zanima i fizičare
Anton Kapustin i Edward Witten pokazali su da geometrijski Langlands odgovara dvojnosti između električnog i magnetskog polja u fizici. Ista dva opisa iste stvari, samo u drugom jeziku.
To je razlog zašto se program ne smatra samo unutarnjom matematičkom razbibrigom. Ako veze doista jesu sjene dubljeg objekta, taj objekt bi mogao imati veze s time kako je svijet složen.
Što ostaje nepoznato
Većina programa. Dokazani su pojedini slučajevi, a opća tvrdnja stoji otvorena više od pola stoljeća. Matematičari koji na tome rade uglavnom ne očekuju da će vidjeti kraj.
